Рисунок по точкам и по числам


Закрыть ... [X]

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re, Im и Мнимая величина.

Иерархия чисел

Ко́мпле́ксные[K 1] чи́сла (от лат. complex — совокупный, тесно связанный[1]) — числа вида a + b i {\displaystyle a+bi} a+bi, где a , b {\displaystyle a,b} a,b — вещественные числа, i {\displaystyle i} i — мнимая единица[2], то есть число, для которого выполняется равенство: i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.} {\displaystyle i^{2}=-1.} Термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[1]. Множество комплексных чисел обычно обозначается символом  C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} {\displaystyle \mathbb {C} ,} оно содержит множество вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} и может рассматриваться как его расширение. Главное свойство C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C}  — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен n {\displaystyle n} n-й степени ( n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} n\geqslant 1) имеет n {\displaystyle n} nкорней. Доказано[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2].

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания[⇨], умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа a + b i {\displaystyle a+bi} a+bi точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i {\displaystyle i} i для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨].

Свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других[4][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на арифметику комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел, таких как кватернионы[⇨].

Содержание Комплексная арифметика Связанные определения

Всякое комплексное число z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} z=a+bi состоит из двух компонентов[5]:

Величина a {\displaystyle a} a называется вещественной частью числа z {\displaystyle z} z и в русскоязычной традиции обозначается Re z {\displaystyle \operatorname {Re} \,z} {\displaystyle \operatorname {Re} \,z} или Re ⁡ ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Re} (z).} {\displaystyle \operatorname {Re} (z).} Также встречается готический символ[6]: ℜ ( z ) . {\displaystyle \Re (z).} {\displaystyle \Re (z).} Если a = 0 {\displaystyle a=0} a=0, то z {\displaystyle z} z называется мнимым или чисто мнимым числом. Вместо 0 + b i {\displaystyle 0+bi} {\displaystyle 0+bi} обычно пишут просто b i . {\displaystyle bi.} {\displaystyle bi.} Величина b {\displaystyle b} b называется мнимой частью числа z {\displaystyle z} z и в русскоязычной традиции обозначается Im z {\displaystyle \operatorname {Im} \,z} {\displaystyle \operatorname {Im} \,z} или Im ⁡ ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Im} (z).} {\displaystyle \operatorname {Im} (z).} Также встречается готический символ[7]: ℑ ( z ) . {\displaystyle \Im (z).} {\displaystyle \Im (z).} Если b = 0 {\displaystyle b=0} b=0, то z {\displaystyle z} z является вещественным числом. Вместо a + 0 i {\displaystyle a+0i} {\displaystyle a+0i} обычно пишут просто a . {\displaystyle a.} a. Например, комплексный нуль 0 + 0 i {\displaystyle 0+0i} {\displaystyle 0+0i} обозначается просто как 0. {\displaystyle 0.} 0.

Противоположным для комплексного числа z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} z=a+bi является число − z = − a − b i . {\displaystyle -z=-a-bi.} {\displaystyle -z=-a-bi.} Например, для числа 1 − 2 i {\displaystyle 1-2i} {\displaystyle 1-2i} противоположным будет число − 1 + 2 i . {\displaystyle -1+2i.} {\displaystyle -1+2i.}

Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из a < b {\displaystyle a<b} a<b вытекало a + c < b + c {\displaystyle a+c<b+c} {\displaystyle a+c<b+c}). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно)[5]:

a + b i = c + d i {\displaystyle a+bi=c+di} a+bi=c+di означает, что a = c {\displaystyle a=c} a=c и b = d {\displaystyle b=d} b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части). Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел[5]:

( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i} {\displaystyle \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i}. ( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i {\displaystyle \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i} {\displaystyle \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i}.

Следующая таблица[5] показывает основные свойства сложения для любых комплексных u , v , w {\displaystyle u,v,w} u,v,w.

Свойство Алгебраическая запись Коммутативность (переместительность) u + v = v + u {\displaystyle u+v=v+u} {\displaystyle u+v=v+u} Ассоциативность (сочетательность) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w {\displaystyle u+(v+w)=(u+v)+w} {\displaystyle u+(v+w)=(u+v)+w} Свойство нуля u + 0 = u {\displaystyle u+0=u} {\displaystyle u+0=u} Свойство противоположного элемента u + ( − u ) = 0 {\displaystyle u+(-u)=0} {\displaystyle u+(-u)=0} Выполнение вычитания через сложение u − v = u + ( − v ) {\displaystyle u-v=u+(-v)} {\displaystyle u-v=u+(-v)} Умножение

Определим произведение[5] комплексных чисел a + b i {\displaystyle a+bi} a+bi и c + d i {\displaystyle c+di} {\displaystyle c+di}:

( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c + b d i 2 ) + ( b c + a d ) i = ( a c − b d ) + ( b c + a d ) i {\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i} {\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i}.

Следующая таблица[5] показывает основные свойства умножения для любых комплексных u , v , w {\displaystyle u,v,w} u,v,w.

Свойство Алгебраическая запись Коммутативность (переместительность) u ⋅ v = v ⋅ u {\displaystyle u\cdot v=v\cdot u} {\displaystyle u\cdot v=v\cdot u} Ассоциативность (сочетательность) u ⋅ ( v ⋅ w ) = ( u ⋅ v ) ⋅ w {\displaystyle u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w} {\displaystyle u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w} Свойство единицы u ⋅ 1 = u {\displaystyle u\cdot 1=u} {\displaystyle u\cdot 1=u} Свойство нуля u ⋅ 0 = 0 {\displaystyle u\cdot 0=0} {\displaystyle u\cdot 0=0} Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w {\displaystyle u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w} {\displaystyle u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w}

Правила для степеней мнимой единицы:

i 2 = − 1 ; i 3 = − i ; i 4 = 1 {\displaystyle i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1} {\displaystyle i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1} и т. д. Деление

Для каждого комплексного числа a + b i {\displaystyle a+bi} a+bi, кроме нуля, существует обратное к нему комплексное число c + d i {\displaystyle c+di} {\displaystyle c+di} такое, что произведение этих двух чисел равно единице[8]:

c + d i = 1 a + b i = a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i {\displaystyle c+di={\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} {\displaystyle c+di={\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i}

Определим результат деления[5] комплексного числа a + b i {\displaystyle a+bi} a+bi на (ненулевое) c + d i {\displaystyle c+di} {\displaystyle c+di}:

a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = a c + b d c 2 + d 2 + ( b c − a d c 2 + d 2 ) i {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i} {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i}

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше. Другое отличие: любой многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, с учётом кратности, столько корней (вообще говоря, комплексных), какова его степень (основная теорема алгебры)[9].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень n {\displaystyle n} n-й степени из ненулевого числа имеет n {\displaystyle n} n различных комплексных значений[10]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного[⇨]..

Замечания о выражении √-1

Заметим, что число i {\displaystyle i} i не является единственным числом, удовлетворяющим уравнению x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} x^{2}=-1. Число − i {\displaystyle -i} -i также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} {\sqrt {-1}}, ранее часто использовавшееся вместо i {\displaystyle i} i, не вполне корректно, так как арифметический корень определяется только для неотрицательных чисел. Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как 5 + i 3 {\displaystyle 5+i{\sqrt {3}}} 5+i{\sqrt {3}}, а не 5 + − 3 {\displaystyle 5+{\sqrt {-3}}} 5+{\sqrt {-3}}, несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым[11].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

− 3 ⋅ − 3 = ( − 3 ) ⋅ ( − 3 ) = ( − 3 ) 2 = 9 = 3 {\displaystyle {\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)}}={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3} {\displaystyle {\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)}}={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3}.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

( i 3 ) ⋅ ( i 3 ) = ( i ⋅ 3 ) 2 = i 2 ⋅ ( 3 ) 2 = − 3. {\displaystyle \left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right)^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.} {\displaystyle \left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right)^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.} Геометрическое представление Комплексная плоскость

Основная статья: Комплексная плоскость

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} z=x+iy соответствует точка плоскости с координатами { x , y } {\displaystyle \left\{x,y\right\}} {\displaystyle \left\{x,y\right\}} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями[12].

Модуль r {\displaystyle r} r и аргумент φ {\displaystyle \varphi } \varphi комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль[⇨]) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке справа) с горизонтальной осью (аргумент[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа[13]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»[14].

Пример: умножение на i {\displaystyle i} i поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на − i {\displaystyle -i} -i радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} z=x+iy обозначается | z | {\displaystyle \left|z\right|} {\displaystyle \left|z\right|} (иногда r {\displaystyle r} r или ρ {\displaystyle \rho } \rho ) и определяется выражением[13]

| z | = x 2 + y 2 {\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} {\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.

Если z {\displaystyle z} z является вещественным числом, то | z | {\displaystyle \left|z\right|} {\displaystyle \left|z\right|} совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых z , z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } z,z_{1},z_{2}\in {\mathbb {C}} имеют место следующие свойства модуля[13][15]:

1) | z | ⩾ 0 {\displaystyle \left|z\right|\geqslant 0} {\displaystyle \left|z\right|\geqslant 0}, причём | z | = 0 {\displaystyle \left|z\right|=0} {\displaystyle \left|z\right|=0} тогда и только тогда, когда z = 0 {\displaystyle z=0} {\displaystyle z=0}; 2) | z 1 + z 2 | ⩽ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|} {\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|} (неравенство треугольника); 3) | z 1 ⋅ z 2 | = | z 1 | ⋅ | z 2 | {\displaystyle \left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|} {\displaystyle \left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|}; 4) | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | {\displaystyle \left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}} {\displaystyle \left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}}. 5) Для пары комплексных чисел z 1 {\displaystyle z_{1}} z_{1} и z 2 {\displaystyle z_{2}} z_{2} модуль их разности | z 1 − z 2 | {\displaystyle \left|z_{1}-z_{2}\right|} {\displaystyle \left|z_{1}-z_{2}\right|} равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости. 6) Модуль числа z {\displaystyle z} z связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями: − | z | ⩽ Re ⁡ ( z ) ⩽ | z | ; − | z | ⩽ Im ⁡ ( z ) ⩽ | z | ; | z | ⩽ | Re ⁡ ( z ) | + | Im ⁡ ( z ) | {\displaystyle -|z|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z|\leqslant |\operatorname {Re} (z)|+|\operatorname {Im} (z)|} {\displaystyle -|z|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z|\leqslant |\operatorname {Re} (z)|+|\operatorname {Im} (z)|} Аргумент

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z {\displaystyle z} z измеряется в радианах и обозначается Arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z\right)} {\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z\right)}. Из этого определения следует, что[13]

tg ⁡   φ = y x ; cos ⁡ φ = x | z | ; sin ⁡ φ = y | z | {\displaystyle \operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}};\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|}};\quad \sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}} {\displaystyle \operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}};\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|}};\quad \sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}}.

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z {\displaystyle z} z аргумент определяется с точностью до 2 π k {\displaystyle 2\pi k} {\displaystyle 2\pi k}, где k {\displaystyle k} k — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение φ {\displaystyle \varphi } \varphi , что − π < φ ⩽ π {\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi } -\pi <\varphi \leqslant \pi . Главное значение может обозначаться arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {arg} \left(z\right)} {\displaystyle \operatorname {arg} \left(z\right)}[16].

Некоторые свойства аргумента[15]:

1) Аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: Arg ⁡ ( 1 z ) = − Arg ⁡ ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right).} {\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right).} 2) Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей: Arg ⁡ ( z 1 z 2 ) = Arg ⁡ ( z 1 ) + Arg ⁡ ( z 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}).} {\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}).} 3) Аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя: Arg ⁡ z 1 z 2 = Arg ⁡ ( z 1 ) − Arg ⁡ ( z 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}).} {\displaystyle \operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}).} Сопряжённые числа

Основная статья: Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} z=x+iy, то число z ¯ = x − i y {\displaystyle {\bar {z}}=x-iy} {\bar z}=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z {\displaystyle z} z (обозначается также z ∗ {\displaystyle z^{}} z^{}). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы отличаются знаком[17]:

| z ¯ | = | z | ; Arg ⁡ ( z ¯ ) = − Arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operatorname {Arg} ({\bar {z}})=-\operatorname {Arg} (z)} {\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operatorname {Arg} ({\bar {z}})=-\operatorname {Arg} (z)}

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; она имеет следующие свойства[17]:

z = z ¯ {\displaystyle z={\bar {z}}} {\displaystyle z={\bar {z}}} тогда и только тогда, когда z {\displaystyle z} z — вещественное число. z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z} {\bar {{\bar {z}}}}=z (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z[15]:

z ⋅ z ¯ = | z | 2 = x 2 + y 2 {\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}} {\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}}

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число[15]:

z + z ¯ = 2 Re ⁡ ( z ) = 2 x {\displaystyle z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} \left(z\right)=2x} {\displaystyle z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} \left(z\right)=2x}

Другие соотношения[15]:

z 1 + z 2 ¯ = z ¯ 1 + z ¯ 2 {\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}} {\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}} z 1 − z 2 ¯ = z ¯ 1 − z ¯ 2 {\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}} {\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}} z 1 ⋅ z 2 ¯ = z ¯ 1 ⋅ z ¯ 2 {\displaystyle {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}} {\displaystyle {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}} z 1 / z 2 ¯ = z ¯ 1 / z ¯ 2 {\displaystyle {\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2}} {\displaystyle {\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2}} Re z = z + z ¯ 2 ; Im z = z − z ¯ 2 i . {\displaystyle \operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.} {\displaystyle \operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.}

Обобщение: p ( z ) ¯ = p ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right)} {\displaystyle {\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right)}, где p ( z ) {\displaystyle p\left(z\right)} {\displaystyle p\left(z\right)} — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число z {\displaystyle z} z является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} \overline{z} тоже является его корнем. Из этого следует, что комплексные корни такого многочлена, не являющиеся вещественными числами (имеющие ненулевую мнимую часть), разбиваются на пары комплексно-сопряжённых[15].

Пример

Тот факт, что произведение z z ¯ {\displaystyle z{\bar {z}}} {\displaystyle z{\bar {z}}} есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение[18], например:

2 + 5 i 3 − 4 i = ( 2 + 5 i ) ( 3 + 4 i ) ( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) = − 14 + 23 i 25 = − 14 25 + 23 25 i . {\displaystyle {\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.} {\displaystyle {\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.} Формы представления комплексного числа Алгебраическая форма

Выше использовалась запись комплексного числа z {\displaystyle z} z в виде x + i y {\displaystyle x+iy} x+iy; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма Тригонометрическое представление

Если вещественную x {\displaystyle x} x и мнимую y {\displaystyle y} y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | {\displaystyle r=\left|z\right|} {\displaystyle r=\left|z\right|} и аргумент φ {\displaystyle \varphi } \varphi (то есть x = r cos ⁡ φ {\displaystyle x=r\cos \varphi } x=r\cos \varphi , y = r sin ⁡ φ {\displaystyle y=r\sin \varphi } y=r\sin \varphi ), то всякое комплексное число z {\displaystyle z} z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме[13]:

z = r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)} {\displaystyle z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}

Как уже сказано выше, для нуля аргумент φ {\displaystyle \varphi } \varphi не определён; для ненулевого числа φ {\displaystyle \varphi } \varphi определяется с точностью до целого кратного 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi .

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера[18]:

e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ , {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,} {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}

где e {\displaystyle e} e — число Эйлера, cos , sin {\displaystyle \cos ,\sin } {\displaystyle \cos ,\sin } — функции косинуса и синуса, e i φ {\displaystyle e^{i\varphi }} e^{{i\varphi }} — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа[18]:

z = r e i φ {\displaystyle z=re^{i\varphi }} {\displaystyle z=re^{i\varphi }}

Отсюда вытекают следующие равенства:

cos ⁡ φ = e i φ + e − i φ 2 ; sin ⁡ φ = e i φ − e − i φ 2 i {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}};\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}} {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}};\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}},

которые при комплексном значении φ {\displaystyle \varphi } \varphi могут служить определением косинуса и синуса.

Пример[19]. Представим в тригонометрической и показательной форме число z = − 1 − 3 i : {\displaystyle z=-1-{\sqrt {3}}i:} {\displaystyle z=-1-{\sqrt {3}}i:}

| z | = 1 + 3 = 2 ; φ = arctg ⁡ ( 3 ) = 4 π 3 + 2 k π {\displaystyle |z|={\sqrt {1+3}}=2;\;\varphi =\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})={\frac {4\pi }{3}}+2k\pi } {\displaystyle |z|={\sqrt {1+3}}=2;\;\varphi =\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})={\frac {4\pi }{3}}+2k\pi } (поскольку z {\displaystyle z} z находится в III координатной четверти)

Отсюда:

z = 2 ( cos ⁡ 4 π 3 + i sin ⁡ 4 π 3 ) = 2 e i 4 π 3 {\displaystyle z=2\left(\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}\right)=2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}} {\displaystyle z=2\left(\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}\right)=2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}} Формула Муавра и извлечение корней

Основная статья: Формула Муавра

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид[10]:

z n = [ r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) ] n = r n ( cos ⁡ n φ + i sin ⁡ n φ ) {\displaystyle z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)} {\displaystyle z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)},

где r {\displaystyle r} r — модуль, а φ {\displaystyle \varphi } \varphi  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом n {\displaystyle n} n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n {\displaystyle n} n-й степени из ненулевого комплексного числа[18]:

z 1 / n = [ r ( cos ⁡ ( φ + 2 π k ) + i sin ⁡ ( φ + 2 π k ) ) ] 1 / n = {\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left(\varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=} {\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left(\varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=} = r n ( cos ⁡ φ + 2 π k n + i sin ⁡ φ + 2 π k n ) , k = 0 , 1 , … , n − 1. {\displaystyle ={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\quad k=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1.} {\displaystyle ={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\quad k=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1.}

Это значит, что корни n {\displaystyle n} n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n {\displaystyle n} n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n {\displaystyle n} n-угольника, вписанного в окружность радиуса r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} {\sqrt[ {n}]{r}} с центром в начале координат (см. рисунок).

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа, записанного в стандартном формате a + b i , {\displaystyle a+bi,} {\displaystyle a+bi,} можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться вышеприведённой формулой для n = 2. {\displaystyle n=2.} {\displaystyle n=2.} Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня: ± ( c + d i ) , {\displaystyle \pm (c+di),} {\displaystyle \pm (c+di),} где[20]:

c = a + a 2 + b 2 2 {\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}} {\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}} d = sgn ⁡ ( b ) − a + a 2 + b 2 2 {\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}} {\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}

Здесь sgn — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением c + d i {\displaystyle c+di} {\displaystyle c+di} в квадрат.

Пример: для квадратного корня из 3 + 4 i {\displaystyle 3+4i} {\displaystyle 3+4i} формулы дают два значения: 2 + i ; − 2 − i . {\displaystyle 2+i;\;-2-i.} {\displaystyle 2+i;\;-2-i.}

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение — 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: 5 + − 15 {\displaystyle 5+{\sqrt {-15}}} 5+{\sqrt {-15}} и 5 − − 15 {\displaystyle 5-{\sqrt {-15}}} 5-{\sqrt {-15}}. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»[21].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение x 3 = 15 x + 4 {\displaystyle x^{3}=15x+4} x^{3}=15x+4 имеет вещественный корень x = 4 {\displaystyle x=4} {\displaystyle x=4}, однако по формулам Кардано получаем: x = 2 + 11 i 3 + 2 − 11 i 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}} x={\sqrt[ {3}]{2+11i}}+{\sqrt[ {3}]{2-11i}}. Бомбелли обнаружил, что 2 ± 11 i 3 = 2 ± i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i} {\sqrt[ {3}]{2\pm 11i}}=2\pm i, так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел[22][21].

Выражения, представимые в виде a + b − 1 {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}} a+b{\sqrt {-1}}, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к комплексным числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты[21].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n {\displaystyle n} n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)[23].

Символ i {\displaystyle i} i для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)[24]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)[22]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)[25].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс[26]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного.[2][27].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения[2].

Комплексные функции Аналитические функции

Основная статья: Комплексный анализ

Комплексная функция одной переменной — это функция w = f ( z ) {\displaystyle w=f(z)} w=f(z), которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам z {\displaystyle z} z этой области комплексные значения w {\displaystyle w} w[28]. Примеры:

w = z 2 + z + 1 ; w = z + 1 z {\displaystyle w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z}}} {\displaystyle w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z}}}

Каждая комплексная функция w = f ( z ) = f ( x + i y ) {\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)} w=f(z)=f(x+iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)} f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y), определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u {\displaystyle u} u, v {\displaystyle v} v называются компонентами комплексной функции f ( z ) . {\displaystyle f(z).} {\displaystyle f(z).} Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных[28].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала[28], например:

sin 2 ⁡ z + cos 2 ⁡ z = 1 ; e u ⋅ e v = e u + v {\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}} \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{{u+v}}

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль[28].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными[29].

Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана. Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z {\displaystyle z} z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути[30].

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

w = z + c {\displaystyle w=z+c} {\displaystyle w=z+c} — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки c . {\displaystyle c.} {\displaystyle c.} w = u z {\displaystyle w=uz} {\displaystyle w=uz}, где u {\displaystyle u} u — комплексное число с единичным модулем — поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу u . {\displaystyle u.} u. w = z ¯ {\displaystyle w={\bar {z}}} {\displaystyle w={\bar {z}}} — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции w = u z + c {\displaystyle w=uz+c} {\displaystyle w=uz+c} и w = u z ¯ + c {\displaystyle w=u{\bar {z}}+c} {\displaystyle w=u{\bar {z}}+c} дают общее выражение для движения на комплексной плоскости[31].

Другие линейные преобразования[31]:

w = r z {\displaystyle w=rz} {\displaystyle w=rz}, где r {\displaystyle r} r — положительное вещественное число, задаёт растяжение, масштаб которого зависит от r {\displaystyle r} r (сжатие, если r < 1 {\displaystyle r<1} {\displaystyle r<1}). Преобразования w = a z + b {\displaystyle w=az+b} {\displaystyle w=az+b} и w = a z ¯ + b {\displaystyle w=a{\bar {z}}+b} {\displaystyle w=a{\bar {z}}+b}, где a , b {\displaystyle a,b} a,b — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия. Преобразование w = a z + b z ¯ + c , {\displaystyle w=az+b{\bar {z}}+c,} {\displaystyle w=az+b{\bar {z}}+c,} где | a | ≠ | b | {\displaystyle |a|\neq |b|} {\displaystyle |a|\neq |b|} — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости.

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования[32]:

w = a z + b c z + d {\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}} {\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}

При этом a d ≠ b c {\displaystyle ad\neq bc} {\displaystyle ad\neq bc} (иначе функция w ( z ) {\displaystyle w(z)} w(z) вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые. При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот[32].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия w = 1 / z ¯ , {\displaystyle w=1/{\bar {z}},} {\displaystyle w=1/{\bar {z}},}функция Жуковского.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например[33]:

Три (различные) точки z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие: z 1 − z 3 z 2 − z 3 {\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}} {\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}} является вещественным числом. Четыре (различные) точки z 1 , z 2 , z 3 , z 4 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие: отношение z 1 − z 3 z 2 − z 3 : z 1 − z 4 z 2 − z 4 {\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}} {\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}} является вещественным числом. Если даны три вершины параллелограмма: z 1 , z 2 , z 3 , {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},} {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},} то четвёртая определяется равенством[34]: z 4 = z 1 − z 2 + z 3 . {\displaystyle z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.} {\displaystyle z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.}

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид[35]:

z = u t + v , {\displaystyle z=ut+v,} {\displaystyle z=ut+v,} где u , v {\displaystyle u,v} u,v — комплексные числа, u ≠ 0 , t {\displaystyle u\neq 0,t} {\displaystyle u\neq 0,t} — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми z = u t + v {\displaystyle z=ut+v} {\displaystyle z=ut+v} и z = u ′ t + v ′ {\displaystyle z=u't+v'} {\displaystyle z=u't+v'} равен arg ⁡ ( u ′ / u ) . {\displaystyle \operatorname {arg} (u'/u).} {\displaystyle \operatorname {arg} (u'/u).} В частности, прямые перпендикулярны, когда u ′ / u {\displaystyle u'/u} {\displaystyle u'/u} — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда u ′ / u {\displaystyle u'/u} {\displaystyle u'/u} есть вещественное число; если при этом ( v ′ − v ) / u {\displaystyle (v'-v)/u} {\displaystyle (v'-v)/u} также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая z = u t + v {\displaystyle z=ut+v} {\displaystyle z=ut+v} рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение t = Im ⁡ z − v u {\displaystyle t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}} {\displaystyle t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}} положительно, на другой — отрицательно[35].

Уравнение окружности с центром c {\displaystyle c} c и радиусом r {\displaystyle r} r имеет чрезвычайно простой вид: | z − c | = r . {\displaystyle |z-c|=r.} {\displaystyle |z-c|=r.}Неравенство | z − c | < r {\displaystyle |z-c|<r} {\displaystyle |z-c|<r} описывает внутренность окружности[35]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности[36]: z = c + e i φ . {\displaystyle z=c+e^{i\varphi }.} {\displaystyle z=c+e^{i\varphi }.}

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств

Множество комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел R . {\displaystyle \mathbb {R} .} \mathbb{R}. Основное алгебраическое свойство C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C}  — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} есть алгебраическое замыкание[37] поля R . {\displaystyle \mathbb {R} .} \mathbb{R}.

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R}  — поле комплексных чисел и тело кватернионов[38].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем R . {\displaystyle \mathbb {R} .} \mathbb{R}.

Поле C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте[39].

Поля R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} и C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C}  — единственные связные локально компактные топологические поля[40].

Некоторые практические применения

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение[41][42].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида a + b i , {\displaystyle a+bi,} {\displaystyle a+bi,} где a , b {\displaystyle a,b} a,b — целые числа[43]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана[44].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд

1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + … {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots } {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Этот ряд сходится только в интервале ( − 1 ; 1 ) {\displaystyle (-1;\;1)} (-1;\;1), хотя точки ± 1 {\displaystyle \pm 1} \pm 1 не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного f ( z ) = 1 1 + z 2 {\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}} f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}, у которой обнаруживаются две особые точки: ± i {\displaystyle \pm i} \pm i. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге единичного радиуса[45].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент[46]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений[47]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам[48]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа[49].

Конформное отображение

Основная статья: Конформное отображение

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)[50]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии[51][52] и гидродинамике[53].

Квантовая механика

Основная статья: Квантовая механика

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} {\hat {x}} и импульса p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} представляет собой мнимое число[54]:

[ x ^ , p ^ x ] = x ^ p ^ x − p ^ x x ^ = i ℏ {\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar } {\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar }

Здесь ℏ {\displaystyle \hbar } \hbar  — редуцированная постоянная Планка h {\displaystyle h} h, то есть h / 2 π {\displaystyle h/2\pi } h/2\pi (постоянная Дирака).

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения[54].

Электротехника

Основная статья: Теория электрических цепей

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса или комплексного сопротивления для реактивных элементов электрической цепи таких как ёмкость и индуктивность — это помогает рассчитать токи в цепи[55]. Ввиду того, что традиционно символ i {\displaystyle i} i в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой j {\displaystyle j} j[56]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из ( t , x ) {\displaystyle (t,x)} {\displaystyle (t,x)}- в ( ω , k ) {\displaystyle (\omega ,k)} {\displaystyle (\omega ,k)}-пространство (где t {\displaystyle t} t — время, ω {\displaystyle \omega } \omega  — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных[57].

Логические основания

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для комплексных чисел.

Аксиоматика комплексных чисел

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} . Именно, определим C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и квадратный корень из -1 (мнимую единицу). Более строго, аксиомы комплексных чисел следующие[58][59].

С1: Для всяких комплексных чисел u , v {\displaystyle u,v} u,v определена их сумма u + v {\displaystyle u+v} {\displaystyle u+v}. С2: Сложение коммутативно: u + v = v + u {\displaystyle u+v=v+u} {\displaystyle u+v=v+u}. Для краткости оговорку «для всяких u , v , w {\displaystyle u,v,w} u,v,w» далее, как правило, опускаем. С3: Сложение ассоциативно: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) . {\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).} {\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).} С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что u + 0 = u {\displaystyle u+0=u} {\displaystyle u+0=u}. С5: Для всякого комплексного числа u {\displaystyle u} u существует «противоположный ему» элемент − u {\displaystyle -u} {\displaystyle -u} такой, что u + ( − u ) = 0. {\displaystyle u+(-u)=0.} {\displaystyle u+(-u)=0.} С6: Для всяких комплексных чисел u , v {\displaystyle u,v} u,v определено их произведение u v {\displaystyle uv} uv. С7: Умножение коммутативно: u v = v u . {\displaystyle uv=vu.} {\displaystyle uv=vu.} С8: Умножение ассоциативно: ( u v ) w = u ( v w ) . {\displaystyle (uv)w=u(vw).} {\displaystyle (uv)w=u(vw).} С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: ( u + v ) w = u w + v w . {\displaystyle (u+v)w=uw+vw.} {\displaystyle (u+v)w=uw+vw.} С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что u ⋅ 1 = u {\displaystyle u\cdot 1=u} {\displaystyle u\cdot 1=u}. С11: Для всякого ненулевого числа u {\displaystyle u} u существует «обратное ему» число u ′ {\displaystyle u'} {\displaystyle u'} такое, что u ⋅ u ′ = 1. {\displaystyle u\cdot u'=1.} {\displaystyle u\cdot u'=1.} С12: Множество комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} содержит подполе, для которого выполняются все свойства поля вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} . Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} . С13: Существует элемент i {\displaystyle i} i (мнимая единица) такой, что i 2 + 1 = 0. {\displaystyle i^{2}+1=0.} {\displaystyle i^{2}+1=0.} С14 (аксиома минимальности): Пусть M {\displaystyle M} M — подмножество C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} , удовлетворяющее следующим условиям: оно содержит R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда M {\displaystyle M} M совпадает со всем C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} .

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением R . {\displaystyle \mathbb {R} .} \mathbb{R}. Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны как поля[60]. Это не означает, что все свойства разных моделей идентичны; например, алгебраическое замыкание Q ¯ p {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}} {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}} поля p-адических чисел Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} {\mathbb {Q}}_{p} изоморфно C {\displaystyle \mathbb {C} } \mathbb {C} как поле, но не изоморфно как топологическое пространство[61].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств[62].

Непротиворечивость и модели

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел[63].

Стандартная модель

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} (a,b) будет соответствовать комплексному числу a + b i . {\displaystyle a+bi.} {\displaystyle a+bi.}[64]

Далее определим[63]:

Пары ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} (a,b) и ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} {\displaystyle (c,d)} считаются равными, если a = c {\displaystyle a=c} a=c и b = d {\displaystyle b=d} b=d. Сложение: сумма пар ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} (a,b) и ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} {\displaystyle (c,d)} определяется как пара ( a + c , b + d ) {\displaystyle (a+c,b+d)} {\displaystyle (a+c,b+d)}. Умножение: произведение пар ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} (a,b) и ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} {\displaystyle (c,d)} определяется как пара ( a c − b d , a d + b c ) {\displaystyle (ac-bd,ad+bc)} {\displaystyle (ac-bd,ad+bc)}.

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} i^{2}=-1:

( a + b i ) ( c + d i ) = ( a + b i ) c + ( a + b i ) d i = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) {\displaystyle (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc)} {\displaystyle (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc)}

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} {\displaystyle (a,0)}, образующими подполе R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} (0,0) и ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} (1,0) соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} (0,1). Квадрат её равен ( − 1 , 0 ) {\displaystyle \left(-1,\;0\right)} {\displaystyle \left(-1,\;0\right)}, то есть  − 1. {\displaystyle -1.} -1. Любое комплексное число можно записать в виде ( a , b ) = ( a , 0 ) ( 1 , 0 ) + ( b , 0 ) ( 0 , 1 ) = a ( 1 , 0 ) + b ( 0 , 1 ) = a + b i . {\displaystyle (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.} {\displaystyle (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.}

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[63].

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

( x − y y x ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&-y\y&x\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&-y\y&x\end{pmatrix}}}

с обычным матричным сложением и умножением[2]. Вещественной единице будет соответствовать

( 1 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}}},

мнимой единице —

( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix}}}.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число x + i y {\displaystyle x+iy} x+iy является линейным оператором. В базисе e 1 = 1 , e 2 = i {\displaystyle e_{1}=1,e_{2}=i} {\displaystyle e_{1}=1,e_{2}=i} линейный оператор A умножения на x + i y {\displaystyle x+iy} x+iy представляется указанной выше матрицей, так как[2]:

( x + i y ) ⋅ 1 = x ⋅ 1 + y ⋅ i {\displaystyle (x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i} {\displaystyle (x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i} ( x + i y ) ⋅ i = ( − y ) ⋅ 1 + x ⋅ i {\displaystyle (x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i} {\displaystyle (x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i}

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число[65].

Модель фактор-кольца многочленов

Рассмотрим кольцо многочленов R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} \mathbb{R}[x] с вещественными коэффициентами и построим его фактор-кольцо по модулю многочлена x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} x^{2}+1 (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} \mathbb{R}[x] мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} x^{2}+1 они дают одинаковые остатки. Например, многочлен x 2 {\displaystyle x^{2}} x^{2} будет эквивалентен константе − 1 {\displaystyle -1} -1, многочлен x 3 {\displaystyle x^{3}} x^{3} будет эквивалентен − x {\displaystyle -x} -x и т. д.[66]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} x^{2}+1неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен i ( x ) = x {\displaystyle i(x)=x} i(x)=x, поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен − 1. {\displaystyle -1.} -1. Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида a + b x {\displaystyle a+bx} {\displaystyle a+bx} (от деления на x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} x^{2}+1), который в силу сказанного можно записать как a + b i . {\displaystyle a+bi.} {\displaystyle a+bi.} Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел[66].

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда[67].

Вариации и обобщения

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые i , j , k . {\displaystyle i,j,k.} {\displaystyle i,j,k.} Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»[68].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют[68].

Примечания Комментарии ↑ Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам. Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа. Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число. Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа. В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695). Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.). ↑ При условии непротиворечивости системы вещественных чисел. Использованная литература ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание. ↑ 1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227. ↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181. ↑ Real Part. Проверено 16 января 2018. ↑ Imaginary Part. Проверено 16 января 2018. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 2. ↑ История математики, том III, 1972, с. 72. ↑ 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239. ↑ История математики, том III, 1972, с. 61—66. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234. ↑ 1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240. ↑ ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15. ↑ 1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—1851. ↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 7. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4. ↑ 1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139. ↑ 1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с. ↑ История математики, том III, 1972, с. 57—61. ↑ Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47. ↑ Острая О. Теория функций комплексного переменного. Проверено 30 ноября 2017. ↑ Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания). ↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с. ↑ 1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 15—22. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44. ↑ 1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1. ↑ 1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 43. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10. ↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12. ↑ Числовые системы, 1975, с. 165. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251. ↑ Числовые системы, 1975, с. 167. ↑ Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386. ↑ Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124. ↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 14. ↑ Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160. ↑ Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 22—25. ↑ Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13). ↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System. Проверено 28 января 2018. ↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973. ↑ 1 2 Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144. ↑ Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4. ↑ Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7. ↑ Числовые системы, 1975, с. 164—165. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233. ↑ Числовые системы, 1975, с. 166. ↑ Andrei Jorza. Introduction to p -adic Galois representations overview. Проверено 14 февраля 2018.: «As fields, C isomorphic to Q ¯ p {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}} {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}} but not as topological fields». ↑ Real and Complex Numbers. Проверено 13 февраля 2018. ↑ 1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233. ↑ John Stillwell. The Four Pillars of Geometry. — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. — С. 84—86. — 240 с. — ISBN 9780387290522. ↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 33. — 405 с. — ISBN 9789401120067. ↑ 1 2 Dickson, L. E. (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865  Литература Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2. Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6. Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4. Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с. Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972. Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III. Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с. Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменногои их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6. Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с. Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1. Ссылки




Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:



Похожие новости


Раскраски комбайн дон


Рисунок по точкам и по числам
Рисунок по точкам и по числам


Эйлер, Леонард Википедия
Крылатые фразы. Значение



ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ


Похожие новости